Producto de Inercia

 Considérese un cilindro homogéneo y equilibrado al que se le colocan  dos pesos iguales, separados 180º, y equidistantes del CG, a lo largo de la altura del cilindro. La suma de dichos pesos, no altera el CG del cilindro, y el cilindro permanece equilibrado estáticamente. No obstante, si hacemos girar el cilindro alrededor de su eje Z, la fuerza centrífuga actúa sobre ambos pesos, haciendo que aparezca un par de fuerzas. Si el cilindro está montado en soportes, este par provoca una fuerza sinusoidal ejercida sobre los soportes, durante el giro del cilindro. Si el cilindro gira en el espacio, el eje de rotación se desplaza a una posición donde las fuerzas centrífugas se igualan (en efecto, se desplaza ligeramente hacia los pesos de desequilibrio). A esto, se le llama producto de inercia.

Básicamente, el producto de inercia (POI), es una medida del desequilibrio dinámico. El POI se expresa en las mismas unidades que el momento de inercia, pero tiene una mayor relación con el CG que el momento de inercia. El producto de inercia no se suele enseñar en las asignaturas de dinámica de las titulaciones de ingeniería, por lo que muchos ingenieros no están familiarizados con él.

Calculo del producto de inercia

Un cilindro equilibrado gira sobre unos soportes. Un peso simétrico, cuyo POI es cero, se monta en el cilindro. El producto de inercia debido a este peso es:

Pzx = M Z X = 0.01 x 2 x 1 = 0.02 slug ft²

donde M = masa del peso = 0.01 slug

X = radio de CG del peso = 1 ft

Z = altura entre el CG del cilindro y el CG del peso = 2 ft

Este POI está en el plano XZ del cilindro. Si se añadiera un peso en el eje Y, en una posición por encima del CG del cilindro, el valor de Pzx no cambiaria, ya que la coordenada X de este peso seria cero. La segunda coordenada del POI, Pzy, se calcularia asi:

Pzy = M Z Y = 0.01 x 2 x (-1) = -0.02 slug ft²

donde M = masa del peso = 0.01 slug

Y = radio del CG del peso = -1 ft

Z = altura entre el CG del cilindro y el CG del peso = 2 ft

Notese que el valor de Pzy es negativo

Conversión de cartesiano a polar

Los ejemplos anterior, eran casos especiales en los que el desequilibrio se localizaba directamente en los ejes X o Y. Cuando esto ocurre, las herramientas matemáticas se simplifican, porque el desequilibrio se puede analizar como un problema de dos dimensiones sobre un plano. Un objeto real, generalmente contiene un desequilibrio que no cae directamente sobre ningun eje. No obstante, este desequilibrio se puede convertir en componentes cartesianas que caen directamente sobre los ejes, para asi poder simplificar los cálculos.

El objeto real a probar (primer dibujo), tiene un desequilibrio equivalente que se puede simular mediante un único peso en cada uno de los planos (segundo dibujo). La diferencia angular entre planos puede ser cualquiera. Como una ayuda al análisis, cada peso se puede reemplazar por dos pesos colocados en los ejes X e Y (tercer dibujo), con lo que hacemos una conversión a coordenadas cartesianas. Cada plano puede ser analizado por separado.

Al final de los cálculos, Pzx y Pzy pueden volver a convertirse a coordenadas polares, si se desea. El proceso para estas transformaciones de cartesiano a polar, se describen en la sección del documento que trata del centro de gravedad. El producto de inercia de las dos componentes en el ejemplo anterior, produce una resultante Pzr en el plano ZR, que pasa por el desequilibrio equivalente y por el eje Z.

Pzr = SQR (Pzx² + Pzy²)

donde SQR = Raiz cuadrada

Ángulo entre la resultante y el eje X = arcTAN (Pzy / Pzx)

Diferencia entre el offset del CG y el producto de inercia

        

La figura ilustra la diferencia entre el desequilibrio estático (offset del CG) y el dinámico (producto de inercia). Los pesos son de 5 lb.

Pzx = 0 lb in²
CGx = 25 lb in²
CGz = 0

Añadir un peso en el plano del CG => Desequilibrio estático, pero no producto de inercia.

Pzx = +75 lb-in²

CGx = +25 lb-in²

CGz = +15 lb-in²

Añadir un peso fuera del plano del CG => Desequilibrio estático y dinámico (producto de inercia diferente de cero).

A menudo, a esto se le llama "desequilibrio cuasiestático", ya que un único peso de corrección basta para corregir todo el desequilibrio.

Pzx = 5 lb x 3 in x 5 in + 5 lb x (-3) x (-5) = 150lb in²

CGz = +15 lb in - 15 lb in = 0

CGx = +25 lb in - 25 lb in = 0

Añadir un segundo peso a 180º, en la parte baja del cilindro => Desequilibrio dinámico, pero no estático (eliminado).

• Pzx = +75 lb in² - 75 lb in² = 0
• CGz = +15 + 15 = 30 lb in
• CGx = +25 - 25 = 0 lb in

Mover este peso al plano del primero => Desequilibrio estático y dinámico.

Tipos de desequilibrio en giro

       

 Un objeto que gira solo puede tener dos tipos de desequilibrio: el producto de inercia y el desplazamiento del CG (offset del CG). Al offset del CG, se le llama desequilibrio estático, mientras que al producto de inercia, se le llama par desequilibrio. Al efecto combinado de los dos, se le llama desequilibrio dinámico.

       

 A lo largo de los años, se han utilizado diferentes términos para describir el desequilibiro. Uno de ellos es el desequilibrio cuasiestático. Este concepto se ilustra en una de las figuras anteriores. El un caso especial de desequilibrio dinámico que ocurre cuando tanto el offset del GC como el producto de inercia, tienen el mismo ángulo, de manera que se puede utilizar un único peso para corregir simultáneamente ambos tipos de desequilibrio. La masa del peso, se elige de tal forma que el producto resultante de la masa por el radio sea igual al desequilibrio estático. Este peso se situa a una distancia alo largo de la longitud del cilindro, de tal manera que introduzca un par de magnitud igual y dirección opuesta al del producto de inercia.

Hay dudas sobre la utilidad de distinguir estos casos especiales, particularmente porque la corrección del desequilibrio se debe limitar, generalmente, a planos de corrección específicos de un objeto, asi que normalmente no es posible localizar un peso de corrección a la distancia crítica a los largo de la longitud del objeto, para poder corregir el par de fuerzas y el desplazamiento del CG, con un único peso. En otras palabras, incluso en el caso del llamado desequilibrio cuasiestático, generalmente se requieren dos pesos para compensar el desequilibrio.

Escogiendo la posición de los ejes de referencia

        

Como en el caso del centro de gravedad, se necesitan tres ejes de referencia mutuamente perpendiculares para definir el producto de inercia (solo se necesita un eje en el caso del momento de inercia). Aunque se puede elegir cualquier eje como referencia, es aconsejable seleccionar el eje de rotación del objeto como uno de los ejes. Si el objeto se monta sobre soportes, entonces el eje se define como la linea central de los soportes. Si el objeto vuela en el espacio, entonces este eje es un eje principal (los ejes que pasan por el CG y estan orientados  de manera que el producto de inercia a su alrededor, sea cero). Si el eje de referencia se va a usar paraq calcular el producto de inercia de una forma compleja, debe escoger un eje de simetria para simplificar el cálculo. Este eje puede trasladarse a otro posteriormente, utilizando las reglas descritas en Teorema de los ejes paralelos del POI. Para simplificar más los cálculos, los otros dos ejes deberian pasar por el CG.

Signo / polaridad del producto de inercia

        

Los valores del producto de inercia pueden ser positivos o negativos, y de hecho, su signo depende de la elección de los ejes de referencia. En este aspecto, el POI es similas al CG. Los valores del momento de inercia, solo pueden ser positivos, ya que la masa sólo puede ser positiva. Generalmente, el producto de inercia de un componente, está desplazado por un producto de inercia negativo, debido a otro componente, por lo que el producto de inercia de un objeto compuesto, debe ser más pequeño que el producto de inercia de muchos de sus elementos.

Unidades del producto de inercia

       

 El producto de inercia se expresa en unidades de masa por distancia al cuadrado. Para el cálculo del CG, se usa el peso del objeto; para el cálculo del POI, se usa la masa. Como se explicó en la sección sobre las unidads, la palabra "libra" puede significar tanto peso como masa, asi que el ingeniero de ser cauto cuando aplique los valores de producto de inercia.

        

A veces, los ingenieros se encontraran unidades extrañas para el POI, como "oz in". Aunque estas unidades son incorrectas, tienen sentido en el contexto de la máquina utilizada para medir el desequilibrio dinámico. Esta máquina debe proporcionar valores de distancia para un plano específico de corrección, que dan el momento requerido en ese plano y a esa distancia para reducir el producto de inercia a cero. Estos datos pueden convertirse a datos válidos en cuanto a unidades, multiplicando el momento en "oz in" por la distancia entre el plano de corrección y el CG (y después, convirtiendo el peso en onzas a unidades de masa). Esto se explica con más detalle en la sección sobre corrección del desequilibrio dinámico.

Eje principal

En cualquier objeto, existen tres ejes mutuamente perpendiculares que se cruzan en el CG, para los que los productos de inercia seran cero. Para un cilindro perfecto, estos ejes corresponden a un eje que pasa por la linea central del cilindro, más dos ejes mutuamente perpendiculares que pasan por el CG en cualquier orientación (esto es así porque el cilindro tiene una simetria perfecta). Estos ejes son llamados los "ejes principales". El momento de inercia del objeto está, como máximo sobre uno de los ejes principales, y como mínimo, sobre el otro. Un vehículo que rota de forma estable, lo hará alrededor de un eje principal (normalmente el eje de momento de inercia mínimo).

Ángulo de inclinación del vehículo de reentrada

   
Un vehículo aeroespacial, generalmente tendrá un eje definido por la resistencia al aire mínima. Este eje corresponde al eje de simetria de la superficie externa del vehículo. Como el vehículo no es homogéneo, el producto de inercia alrededor de este eje puede no ser cero, resultando en un eje principal que forma un determinado ángulo con el eje de simetria del vehículo. Este ángulo es conocido como el "ángulo de inclinación" del vehículo. Generalmente, es deseable  hacer este ángulo tan pequeño como sea posible; así, el vehículo "volará recto". A veces, no obstante, este ángulo se ajusta deliberadamente a un valor específico, para que el vehículo de reentrada tenga un movimiento "cónico" durante su entrada en la atmósfera, de manera que la fricción y el arrastre resultantes, frenen la reentrada.

El ángulo de inclinación puede ser calculado utilizando la siguiente fórmula:

A = ½ (arcTAN ((2Pzx) ÷ (Iz - Ix)))

Ejemplo:

• Pzx = 0.002 lb in s²
• Ixx = 8.95 lb in²
• Izz = 2.40 lb in²

¿Cual és el ángulo de inclinación en el plano X-Z? Primero, las unidades del momento de inercia deben convertirse a lb in s², para ser consistentes con las unidades del producto de inercia (o las unidades del producto de inercia se pueden convertir a

lb in²)

        Ixx = 8.95 lb in² = 0.023155 lb in sec²

        Iyy = 2.40 lb in² = 0.006216 lb in sec²

Si usamos la fórmula, tenemos

        A = ½ (arcTAN ((2Pzx) ÷ (Izz - Ixx)))

        A = ½ (arcTAN ((0.004) ÷ (0.006216 - 0.023155))) = -6.74°

   
 El ejemplo anterior era para un solo plano. También seria el ángulo de inclinación del objeto, si el producto de inercia del plano Z-Y fuera cero. Si hubiera un producto de inercia para el plano Z-Y, la solución combinada para el objeto, seria:

       

 A = ½ (arcTAN ((2Pzr) ÷ (Izz - Irr)))

donde

    Pzr es la resultante de Pzx y Pzy.

        Irr es el momento de inercia alrededor del eje "r" (resultante).

    
Para un projectil o vehículo de reentrada típico, Iyy = Ixx, de modo que Ixx puede usarse en lugar de Irr. Para un vehículo con alas, esto no es aplicable, y Irr debe calcularse a partir de los valores de Iyy e Ixx (Ver la sección sobre momento de inercia).

Controlando el ángulo de inclinación

Como la cantidad de inclinación del eje que resulta de un producto de inercia dado, es función de la diferencia entre Izz e Ixx, el efecto de un desequilibrio, puede ser ajustado alterando la diferencia en el momento de inercia. Esto nos lleva a dos conclusiones:

1. Si se quiere estabilizar el vehículo y hacerlo resistente a los efectos del desequilibrio, se debe hacer la diferencia en momento de inercia, tan grande como se a posible. Esto se consigue diseñando el vehículo de forma que sea largo y esbelto, y colocando los elementos más pesados cerca del final del vehículo.
2. Si se quiere girar el vehículo con la menor fuerza de corrección posible, se ha de hacer que la diferencia de momento de inercia sea tan pequeña como permitan los límites de tolerancia. La mínima diferencia de momento de inercia, vendrá limitada por la exactitud con se pueda corregir el desequilibrio por producto de inercia.

Teorema de los ejes paralelos para el POI

        
Cuando se quiere determinar el producto de inercia de un vehículo, será necesari calcular o medir primero el producto de inercia de los componentes del vehículo, y entonces trasladar estos valores al producto efectivo alrededor de los ejes del vehículo.

Para trasladar el producto de inercia de un objeto relativo a los ejes X', Y' y Z' a los ejes X, Y, Z, hacemos:

        Pzx = P z'x' + M z x

        Pzy = P z'y' + M z y

donde

        M = masa del objeto

        x, y, z = coordenadas de los ejes X, Y, Z del CG del objeto

        
Este teorema, es más difícil de utilizar que el equivalente del momento de inercia, porque se requieren dos fórmulas, y porque cada término tiene una polaridad asociada (signo). El siguiente ejemplo ilustra este tipo de traslación:

Ejemplo para la ilustración: sean z = -4, x = +5 e y = -6 in. El producto de inercia del objeto alrededor de los ejes X', Y' y Z' es Pz'x' = -2 lb in s², Pz'Y' = 0 lb in s². El peso del objeto es de 4 lbs. Calcular el producto de inercia efectivo del objeto realtivo a los ejes X, Y y Z.

Comparación entre el MOI y el POI

        
Existen algunas semejanzas y algunas diferencias entre esta fórmula de traslación y la fórmula para trasladar el momento de inercia a un eje paralelo diferente:

1. Ambas fórmulas son dimensionalmente similares:
   
   
   (masa) (longitud)² = (masa) (longitud)² + (masa) (longitud)²
   
   
   No obstante, el signo de los valores de (masa) (longitud)², sólo pueden ser positivos para el momento de inercia, mientras que puede ser tanto positivo como negativo para el producto de inercia.
2. En el caso del momento de inercia, era posible ignorar el MOI del objeto alrededor del CG, si el término de traslación era grande. Esto no es así para el producto de inercia. Si el POI del objeto alrededor del su CG no es cero, no puede ignorarse, incluso si el valor del término de la traslación, Mxy, es grande, ya que valores pequeños de producto de inercia, pueden ser muy significativos si un término grande se substrae de otro, dejando una pequeña diferencia.
3. En el caso del momento de inercia, el valor del MOI a través del CG de un objeto. siempre tiene un valor mayor que cero. Es imposible que el producto de inercia de un objeto sea cero; así la fórmula se convierte en Pzx = M z x.

Ejes y planos de simetria

        
El producto de inercia de un cuerpo homogéneo, respecto de cualquier par de ejes perpendiculares, es igual a cero si en plano determinado por cualquiera de los ejes y el tercer eje coordenado, es un plano de simetria del cuerpo. Esta regla es dificil de explicar con palabras. Los ejemplos de la derecha, ilustra algunas formas simétricas que tiene Pzx = 0.

Determinando el producto de inercia de un volumen.

        
La discusión previa asumia que los pequeños pesos de desequilibrio eran perfectamente simétricos, y entonces, el producto de inercia del propio peso, se puede ignorar. En la vida real, los "pesos", estan formados por varios componentes de un cohete o nave espacial, y sus productos de inercia no suelen ser cero. Como se ha mencionado previamente, incluso si los productos de inercia de los componentes son pequeños, no pueden ser ignorados, ya que el producto de inercial del vehículo es, normalmente, muy pequeño,  y  incluso el más pequeño de los desequilibrios, puede ladear el eje principal del vehículo.

        
El concepto básico para determinar el producto de inercia de un volumen es idéntico al método previo referido a objetos discretos, excepto que los objetos son ahora elementos diferenciales de un sólido. La fórmula se convierte en:

P yx = INT ( y x ) dV

Int = Integral

donde:

• M = masa total del objeto
• dV = diferencial de volumen

       
 Como en el caso del momento de inercia y del centro de gravedad, la solución al problema se puede simplificar escogiendo un elemento diferencial adecuado. Por ejemplo, el borde elíptico de ala mostrado, se puede analizar utilizando un pequeño elemento cuadrado dX por dY. Estos nos lleva a una integral doble. Por el contrario, si se toma una porción rectangular paralela al eje X, entonces el POI del elemento es cero, y el producto de inercia de dA es:

O + 0.5 1 y da

Como dA = X1 dy entonces Pxy = .5 INT(X1 ² y) dy

De la ecuacicón de una elipse, tenemos:

X1² = (a²² - y²²) / 2

Finalmente:

Pxy = 0.5 INT ((a²²-y²²) / 2 y) dy = +(a²²) / 8

Combinando el POI de dos cuerpos

        
Si se combinan dos secciones de un cohete, ¿cuál es el producto de inercia resultante? Si las secciones están perfectamente alineadas, de manera que el eje de referencia Z de la sección inferior coincide exactamente con el eje de referencia Z de la sección superior, se puede utilizar el siguiente método:

1. Transformar el producto de inercia de la sección inferior en valores para Pzx y Pzy (conversión de cartesiano a polar). Si los ejes X e Y de la sección superior no se corresponden con los elegidos para la sección inferior, rotar los datos convirtiendolos temporalmente a forma polar y luego de nuevo a los ejes cartesianos, para que los ejes inferiores y superiores esten en la misma posición angular. El análisis se realiza por planos y se puede transformar a forma polar si se desea, una vez acabados los cálculos.
2. Sumar los valores de Pzx superior y Pzx inferior. Hacer lo mismo con Pzy.
   Nota : Observese el signo de los datos. Esto implica nuevos valores de producto de inercia para el vehículo compuesto (Los valores para el total pueden ser mayores o menores que los valores individuales).

Efecto del desalineado lateral

¿Qué ocurre si las dos secciones no están alineadas, de manera que los ejes son paralelos el uno al otro, pero el eje de uno no coincide con el eje del otro? He aquí el método recomendado para analizar este tipo de problema:

1. La posición de la sección superior debe definirse en términos de los ejes de referencia inferiores. Esto requiere la medida del desplazamiento de la sección superior, una vez ambas secciones estan ensambladas. Esto puede conseguirse colocando el cohete completo en una mesa giratoria y mirar qué indica para las secciones superior e inferior. Si esto no es posible, las medidas se pueden realizar para cada sección individual y el desplazamiento del anillo de acoplamiento, aunque no es un método muy preciso.
2. Calcular las coordenadas X, Y y Z del CG del cohete completo. Los nuevos ejes de referencia del cohete complete, pasarán por el nuevo CG y serán paralalos a los ejes de referencia de las dos secciones. La linea central de las dos secciones, sufrirá un pequeño (pero no insignificante) desplazamiento respecto de su eje. En general, la magnitud del POI resultante del desalineado, será mayor que el POI de las secciones individuales, de manera que no conviene ignorar este efecto. Las distancias a les ejes X o Y, serán pequeñas, pero la masa será muy grande, ya que es la masa entera de una sección.
3. El Pzx relativo al nuevo eje combinado debido al Pzx de la sección superior, se puede calcular usando la fórmula de traslación de ejes paralelos:
                   Pzx = Pz'x' + M z x
   donde
   
   
                   Pzx = POI relativo al CG combinado
                   Pz'x' = POI relativo la la sección superior
                   M = masa de la sección superior
                   z = distancia entre el CG compuesto y el CG de la sección superior
                   x = desplazamiento entre la nueva referencia combinada y la referencia superior
   
   
   En el gráfico, tanto x como z son positivos, de manera que el POI debido al desplazamiento superior es positivo.
4. Repetir los cálculos para la sección inferior. En el gráfico, tanto z como x son negativos, por lo que el POI debido al desplazamiento de la sección inferior, es también negativo.
5. Sumar los valores de Pzx superior y Pzy inferior para obtener el Pzx total.
6. Repetir los pasos 3, 4, y 5 para obtener Pzy .
7. Si se desea, convertir Pzy y Pzx en Pzr, la resultante de la conversión a polar.

Efecto de la inclinación en el MOI y el POI

         Si un cilindro perfectamente equilibrado se inclina un ángulo a, entonces Pzx, Iz e Ix cabiarán. Cuando el cilindro tiende a un ángulo de 90º, Iz se convierte en Ix, e Ix se convierte en Iz. Para un ángulo de 0º, Pzx es un máximo determinado por los valores de Iz e Ix. A un ángulo de 90º, Pzx es de nuevo cero. Esta relación única entre el momento de inercia y el producto de inercia, se discute en el documento SAWE nº 1473, titulado "Determinin Product of Inertia Using a Torsion Pendulum". Este documento describe un método de medición del POI de los objetos utilizando un instrumento de medida del momento de inercia.

        Cuando el MOI o el POI de un objeto viene determinado por su linea central, y el objeto està instalado en un vehículo de manera que existe un ángulo entre la linea central del objeto y la referencia del vehículo, entonces es muy útil poder convertir los valores calculados del objeto, en propiedades de la masa relativas a la nueva referencia, sin tener que recalcular el objeto. Esta fórmulas se dan a continuación.

Fórmulas para el MOI en ejes inclinados

Para el cilindro equilibrado mostrado anteriormente, el momento de inercia alrededor de un eje Z' desplazado de la linea central del cilindro por un ángulo a:

Iz' = 0.5 (Iz + Ix) + 0.5 (Iz - Ix) cos (2a)

Nótese que para este ejemplo, Pzx es cero. Esta fórmula es válida únicamente para la orientación de los ejes mostrada. Hay varias observaciones interesantes que hacer dado el cambio en el MOI:

1. El MOI a un ángulo de 45º es la vedia de Iz e Ix.

2. La sensibilidad al ángulo de inclinación es función de la diferencia entre Ix e Iz. Si hay pequeñas diferencias, el ángulo de inclinación se puede ignorar. Si el objeto es alto y delgado, el ángulo de inclinación es crítico.

Además de ser útil para el cálculo del MOI, esta fórmula puede usarse también para determinar la precisión requerida al medir el MOI. Cuando se miden cohetes largos y delgados, el error axial del MOI, será grande a menos que el cohete sea colocado correctamente. El MOI transverso se puede medir en un pequeño bloque, sin necesidad de ajustar la posición del cohete. ya que la sensibilidad a la inclinación es muy pequeña en este caso.

El análisis previo asume que los ejes X y Z son ejes principales y que el POI es cero. Si este no es el caso, la fórmula se convierte en:

Iz' = 0.5 (Iz + Ix) + 0.5 (Iz - Ix) cos (2a) + Pzx sin (2a)

Una fórmula similar puede escribirse para Ix':

Ix' = 0.5 (Iz + Ix) + 0.5 (Iz - Ix) cos (2a) - Pzx sin (2a)

Esta fórmula refleja el hecho de que el eje principal no pasa a través de la linea central del cilindro, de modo que el máximo y mínimo MOI no está en los ejes X y Z.

Las fórmulas presentadas también asumen que no hay inclinación en la dirección Y, de modo que el problema puede ser analizado desde un punto de vista bi-dimensional. Si este no es el caso, entonces el sistema de coordenadas debe transformarse. Más aún, notese que el origen de los dos ejes estan en el CG del objeto. Se pueden escribir ecuaciones para el caso más general. No obstante, es más fácil manipular los ejes que resolver las ecuaciones generales.

Fórmulas para el POI en ejes inclinados

Como el POI y el MOI están relacionados, deberia poder asumirse que se puede escribir una fórmula similar para el POI de un objeto inclinado. En este caso, se con Pzx = 0, y volviendo a un valor cero desde un ángulo de 90º. La fórmula es:formula is:

Pz'x' = 0.5(Ix - Iz) sin (2a) - Pzx cos (2a)

Si los ejes X y X son ejes principales, la fórmula se convierte en:

Pz'x' = 0.5(Ix - Iz) sin (2a)

Estas fórmulas son sólo válidas para orientear los ejes mostrados y para la dirección y definición del ángulo positivo de inclinación (sentido horario desde el eje Z).

Círculo de Mohr

El ingeniero alemán Otto Mohr, desarrolló en el siglo XIX una representación gráfica de la relación entre el MOI y el POI. Una copia de esta ayuda se reproduce en el manual SAWE y se muestra más abajo. Con la ventaja de disponer de un PC, ya no son necesarias las soluciones gráficas en los problemas de ingenieria, pero el círculo de Mohr es aún útil para visualizar el efecto de la inclinación.

El círculo de Mohr's para el momento de inercia

Dados:

1. Los valores del momento de inercia  Ix' Iy de un objeto, alrededor de su centro de gravedad, donde el centro de gravedad cae sobre el origen de un conjunto de ejex X-Y mutuamente perpendiculares.
2. El valor correspondiente al producto de inercia, Pxy'

El cículo de Mohr se construye utilizando el esquema geométrico y la información siguientes:

1. La localización de los ejes principales cuyos momentos de inercia son máximos y mínimos con productos de inercia cero.
2. Los valores máximo y minimo correspondientes a los valores del momento de inercia.
3. Los momentos y productos de inercia para cualquier otro conjunto de ejes A-B mutuamente perpendiculares, cuyos orígenes esten sobre el centro de gravedad de objeto dado, y rotados C grados respecto de los ejes originales X-Y.
4. Los valores máximos de los productos de inercia alrededor de los ejes situados a 45º de los ejes principales.

Círculo de Mohr

Efectos del desalineado angular

        Si la sección superior está inclinada respecto a la sección inferior, los dos factores tienden a incrementar el POI efectivo de esta sección: la inclinación resulta en un desplazamiento del CG similar al del caso descrito anteriormente, y la inclinación también altera el POI de la propia sección superior. El método para calcular el POI total es:

1. Usando la linea central de la sección inferior como referencia, calcular el desplazamiento en el eje Y del CG de la sección superior, mediante la fórmula:
   
   
               Y = H sin a
   
   
   donde
   
   
               H es la altura del CG de la sección superior
               a es el ángulo de inclinación en plano YZ
   
   
   Utilizando un concepto similar, calcular el desplazamiento X de la sección superior.
2. Calcular las coordenadas X, Y y Z del CG del cohete completo. El nuevo eje de referencia   del cohete completo pasará a través del nuevo CG y será paralelo a los ejes de referencia de la sección inferior.
3. Recalcular la componente Pzx de la sección superior aplicando la fórmula de inclinación de los ejes. Sumar este POI a la componente Pzx de la sección superior relativa a la linea central (observar los signos; el valor de Pzx puede ser tanto mayor como menor que el valor sin considerar la inclinación).
4. La componente Pzx relativa al nuevo eje debida a la componente Pzx de la sección superior, puede calcularse usando la fórmula de traslación de los ejes paralelos:
   
   
                       Pzx = Px'y' + M z x
   
   
   donde
   
   
                       Pzx = POI relativo al CG de los ejes combinados
                       Pz'x' = POI relativo a la sección superior despues de que el efecto de la inclinación se añade
                       M = masa de la sección superior
                       z = distancia entre el CG compuesto y el CG de la sección superior
                       x = desplazamiento entre la nueva referencia combinada y la referencia de la sección superior
   
   
   En el gráfico mostrado, tanto x como z son positivos, de modo que el POI debido al desplazamiento superior
   es positivo.
5. Repetir los cáculos del paso 4 para la sección inferior. Como esta sección no está inclinada, la componente Pz'x' es el valor a través de la linea central. En el gráfico, tanto x como z son negativos, asi que el POI debido al desplazamiento de la sección inferior es también negativo.
6. Sumar los valores de Pzx superior y Pzx inferior para obtener Pzx total.
7. Repetir los pasos 3, 4 y 5 para Pzy.
8. Si se desea, convertir Pzx y Pzy en Pzr, la representación polar resultante.