Momento Rectangular de Inercia

Momento de inercia de un rectángulo de base B y altura H, y masa M respecto a su centro.

La masa del rectángulo es M = σA = σBH Consideramos que el rectángulo está situado en el plano XY. El momento de inercia de una figura plana, respecto a un punto, es la suma de los momentos de inercia respecto a dos ejes perpendiculares entre sí que se corten en ese punto. Para calcular el momento de inercia respecto al centro de gravedad G se calcula los momentos de inercia respecto a dos eje paralelos a la base y la altura respectivamente que pasen por G (Ejes GX y GY).

IG = IGX + IGY

Momento de inercia respecto al eje GX (Recta paralela a la base, que pasa por G) Consideramos un elemento diferencial de área, situado a una distancia y del eje GX, cuya masa es dm = σBdy La distancia y varía entre 0 y H/2, por encima del eje GX, y entre 0 y -H/2 por debajo del eje GX El momento de inercia es 

H/2 H/2

IGX= ∫∫y² dm= 2 ∫ y²σBdy= 2Bσ y³ ] = 2Bσ H³ = σ AH² =M H²

Análogamente el momento de inercia respecto al eje GY es

GY= 1 MB² 12

El momento de inercia respecto al centro de gravedad es I

G = 1 M(B²+H²) 12

Determinaremos el momento de inercia de un rectángulo con respecto a su base, dividiendo el rectángulo en franjas paralelas al eje x. obtenemos

dA = b dy dlz = y2b dy lx = by2 dy = 1/3bh3 

 Cálculo de Ix e Iy de las mismas franjas elementales. La fórmula que acabamos de derivar puede

Usarse para determinar el momento de inercia dlx con respecto al eje x de una franja rectangular

Paralela al eje y. tal como la mostrada en la figura 9.3c. Haciendo b = dx y h=y, escribimos

dIx = 1/3y3 dx

Por otra parte se tiene

dIy = x2 dA = x2y dx

Por lo tanto, se puede utilizar el mismo elemento para calcular los momentos de inercia Ix e Iy.

dx

dIx = 1/3y3 dx

dIy = x2y dx

Solución

(a) Determinar el momento polar centroidal de inercia de una área circular por integración directa. 

(b) Usando el resultado de la parte 

(a) Determinar el momento de inercia de una área circular con respecto a su diámetro.

Solución:

Momento polar de inercia. Escogemos un elemento anular diferencial de área. Como todas las partes de esta área diferencial están a la misma distancia del origen. Escribimos.

dJo = u2dA dA = 2.u du

Jo = ./2 ( r4 )

        b. Momento de inercia. Debido a la simetría del área circular tenemos Ix = IY, luego entonces escribimos: Jo = IX +IY = 2IX ./2 (r4) = 2IX

I DIÁMETRO = IX = ./4 (r4)

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